Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5}{3} k$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $k$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{11}{3} - \frac{k \cdot 5}{3}$

Étape 1.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $k$ .

$\frac{11}{3} - \frac{5 k}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5 k}{3}$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} - \frac{5 k}{3} = \sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3} + \sum_{k = 1}^{25} - \frac{5 k}{3}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{25} \frac{11}{3}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{11}{3}) (25)$

Étape 3.3

Multipliez $(\frac{11}{3}) (25)$ .

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{11}{3}$ et $25$ .

$\frac{11 \cdot 25}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $11$ par $25$ .

$\frac{275}{3}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{25} - \frac{5 k}{3}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $- \frac{5}{3}$ dans l’addition.

$(- \frac{5}{3}) \sum_{k = 1}^{25} k$

Étape 4.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{5}{3}) (\frac{25 (25 + 1)}{2})$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Additionnez $25$ et $1$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{25 \cdot 26}{2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $25$ par $26$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{650}{2}$

Étape 4.4.3

Divisez $650$ par $2$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 325$

Étape 4.4.4

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot 325$ .

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $325$ par $- 1$ .

$- 325 (\frac{5}{3})$

Étape 4.4.4.2

Associez $- 325$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 325 \cdot 5}{3}$

Étape 4.4.4.3

Multipliez $- 325$ par $5$ .

$\frac{- 1625}{3}$

Étape 4.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1625}{3}$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{275}{3} - \frac{1625}{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{275 - 1625}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1625$ de $275$ .

$\frac{- 1350}{3}$

Étape 6.2.2

Divisez $- 1350$ par $3$ .

$- 450$