Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} x^{3} = y^{5} + 2 y^{3} - 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{5} + 2 y^{3} - 2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{2}$ et $g (x) = x^{3}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y^{2} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 x^{3} y y'$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{5} + 2 y^{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 y^{4} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$ et $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y' = 5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' = 3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x^{3} y y'$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $y y'$ à partir de $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y y'$ à partir de $5 y^{4} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y y'$ à partir de $6 y^{2} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y y'$ à partir de $- 2 x^{3} y y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y)$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.3.5

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3})$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ par $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ par $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ .

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$