Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} (3 x^{2} - 2 x^{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x^{3}] + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$e^{x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{x} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x} (6 x - 2 (3 x^{2})) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Étape 4.3

Additionnez $e^{x} (- 6 x^{2})$ et $3 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 4.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 6 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 6 x^{2} e^{x}$ et $3 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$ .

$6 x e^{x} - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$