Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 2}^{4} 5 {(\frac{2}{3})}^{k}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$5 {(\frac{2}{3})}^{2} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$5 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$5 \frac{4}{3^{2}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.4

Multipliez $5 (\frac{4}{9})$ .

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Étape 2.1.4.1

Associez $5$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{9} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{9} + 5 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{20}{9} + 5 \frac{8}{3^{3}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{20}{9} + 5 (\frac{8}{27}) + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.8

Multipliez $5 (\frac{8}{27})$ .

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Étape 2.1.8.1

Associez $5$ et $\frac{8}{27}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{5 \cdot 8}{27} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Étape 2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 \frac{2^{4}}{3^{4}}$

Étape 2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 \frac{16}{3^{4}}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 (\frac{16}{81})$

Étape 2.1.12

Multipliez $5 (\frac{16}{81})$ .

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Étape 2.1.12.1

Associez $5$ et $\frac{16}{81}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \frac{5 \cdot 16}{81}$

Étape 2.1.12.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{20}{9}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{9}{9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{20}{9}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{40}{27}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40}{27} \cdot \frac{3}{3} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{40}{27}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40 \cdot 3}{27 \cdot 3} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2.5

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{27 \cdot 3} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2.6

Réorganisez les facteurs de $27 \cdot 3$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{3 \cdot 27} + \frac{80}{81}$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $27$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{81} + \frac{80}{81}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 \cdot 9 + 40 \cdot 3 + 80}{81}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $20$ par $9$ .

$\frac{180 + 40 \cdot 3 + 80}{81}$

Étape 2.4.2

Multipliez $40$ par $3$ .

$\frac{180 + 120 + 80}{81}$

Étape 2.5

Additionnez $180$ et $120$ .

$\frac{300 + 80}{81}$

Étape 2.6

Additionnez $300$ et $80$ .

$\frac{380}{81}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{380}{81}$

Forme décimale :

$4.69135802 \dots$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{56}{81}$