Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} = \sin (x + 2 y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 2 y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + 2 y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2 y$ .

$\cos (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\cos (x + 2 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + 2 y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 2 y) (1 + 2 y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$ par $\cos (x + 2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$ par $\cos (x + 2 y)$ .

$\frac{\cos (x + 2 y) (1 + 2 y')}{\cos (x + 2 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x + 2 y)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x + 2 y) (1 + 2 y')}{\cos (x + 2 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $1 + 2 y'$ par $1$ .

$1 + 2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.2

Associez.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 2 y) \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 2 y) \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 2 y)} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.4

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.5

Séparez les fractions.

$y' = \frac{e^{2 x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x + 2 y)} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x + 2 y)}$ à $\sec (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{1} \sec (x + 2 y) + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.7

Divisez $e^{2 x}$ par $1$ .

$y' = e^{2 x} \sec (x + 2 y) + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.4.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = e^{2 x} \sec (x + 2 y) - \frac{1}{2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \sec (x + 2 y) - \frac{1}{2}$