Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$d \int \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$d \int \frac{x^{3} x - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{x^{3} x^{1} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int \frac{x^{3 + 1} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 5

Additionnez $3$ et $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 8

Additionnez $2$ et $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$d \int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 13

Divisez $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ par $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Étape 13.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Étape 13.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Étape 13.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 13.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 13.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 13.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

Étape 13.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

Étape 13.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 13.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 13.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

Étape 13.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

Étape 13.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

Étape 13.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

Étape 13.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 8 x + 8$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

Étape 13.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$5 x$

$0$

$2 x^{2}$

$8 x$

$8$

$3 x$

$8$

Étape 13.16

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$d \int x^{2} + x + 2 + \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 14

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$d (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 17.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 18

Appliquez la règle de la constante.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int \frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 19

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 19.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 19.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 19.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 x - 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Étape 19.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 19.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 x - 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Étape 19.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{3 x - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 19.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 19.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Étape 19.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 8) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 19.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 19.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - 8) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 19.1.5.2

Divisez $3 x - 8$ par $1$ .

$3 x - 8 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 19.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 19.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 x - 8 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 19.1.6.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 19.1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et $x - 2$ .

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Étape 19.1.6.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Étape 19.1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Étape 19.1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x - 8 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Étape 19.1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x - 8 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Étape 19.1.6.2.2.4

Divisez $B (x - 2)$ par $1$ .

$3 x - 8 = A + B (x - 2)$

Étape 19.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 8 = A + B x + B \cdot - 2$

Étape 19.1.6.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $B$ .

$3 x - 8 = A + B x - 2 B$

Étape 19.1.7

Remettez dans l’ordre $A$ et $B x$ .

$3 x - 8 = B x + A - 2 B$

Étape 19.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 19.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$3 = B$

Étape 19.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 8 = A - 2 B$

Étape 19.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$3 = B$

$- 8 = A - 2 B$

$3 = B$

$- 8 = A - 2 B$

Étape 19.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 19.3.1

Réécrivez l’équation comme $B = 3$ .

$B = 3$

$- 8 = A - 2 B$

Étape 19.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 19.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $- 8 = A - 2 B$ par $3$ .

$- 8 = A - 2 \cdot 3$

$B = 3$

Étape 19.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.3.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

$- 8 = A - 6$

$B = 3$

Étape 19.3.3

Résolvez $A$ dans $- 8 = A - 6$ .

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Étape 19.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A - 6 = - 8$ .

$A - 6 = - 8$

$B = 3$

Étape 19.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 19.3.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$A = - 8 + 6$

$B = 3$

Étape 19.3.3.2.2

Additionnez $- 8$ et $6$ .

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

$A = - 2$

$B = 3$

Étape 19.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = - 2 B = 3$

Étape 19.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - 2, B = 3$

Étape 19.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2}$

Étape 19.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 20

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C + \int - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 22

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - (2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 23

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 24

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 24.1

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 24.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 24.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 24.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 24.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 24.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 24.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 25

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 25.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 25.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 25.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 25.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 26

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x - 2} d x)$

Étape 27

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Étape 28

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 28.1

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 28.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 28.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 28.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 28.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 28.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 28.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 29

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + C + \frac{x^{2}}{2} + C + 2 x + C - 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 30

Simplifiez

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 31

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 31.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 31.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$d (\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| x - 2 |)) + C$

Étape 32

Remettez les termes dans l’ordre.

$d (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{2}{x - 2} + 3 \ln (| x - 2 |)) + C$