Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - \frac{1}{3 x^{5}} + 2 \sqrt{x} - \frac{3}{x} + \frac{1 - 2 x}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - \frac{1}{3 x^{5}} + 2 \sqrt{x} - \frac{3}{x} + \frac{1 - 2 x}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{5}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{3} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$3 x^{2} + 5 (\frac{1}{3}) x^{- 6} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.9

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.10

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{- 6}$ .

$3 x^{2} + \frac{5 x^{- 6}}{3} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 2.11

Placez $x^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.10

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 3.13

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{x^{3}}]$ .

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 2 x$ et $g (x) = x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} (0 - 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} (0 - 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} (0 - 2) - (1 - 2 x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.8

Soustrayez $2$ de $0$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} \cdot - 2 - (1 - 2 x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{- 2 \cdot x^{3} - (1 - 2 x) (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{3} - 3 (1 - 2 x) x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{3} - 3 (1 - 2 x) x^{2}}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 5.11.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{3} - 3 (1 - 2 x) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.12

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{3} - 3 (1 - 2 x) x^{2}$ .

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Étape 5.12.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{2} (- 2 x) - 3 (1 - 2 x) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.12.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (1 - 2 x) x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{2} (- 2 x) + x^{2} (- 3 (1 - 2 x))}{x^{6}}$

Étape 5.12.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- 2 x) + x^{2} (- 3 (1 - 2 x))$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{2} (- 2 x - 3 (1 - 2 x))}{x^{6}}$

Étape 5.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.13.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{2} (- 2 x - 3 (1 - 2 x))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 5.13.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{x^{2} (- 2 x - 3 (1 - 2 x))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 5.13.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2} + \frac{- 2 x - 3 (1 - 2 x)}{x^{4}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2 x - 3 (1 - 2 x)}{x^{4}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2 x - 3 \cdot 1 - 3 (- 2 x)}{x^{4}}$

Étape 6.3

Associez des termes.

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Étape 6.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 2 x - 3 \cdot 1 - 3 (- 2 x)}{x^{4}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 2 x - 3 - 3 (- 2 x)}{x^{4}}$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 2 x - 3 + 6 x}{x^{4}}$

Étape 6.3.4

Additionnez $- 2 x$ et $6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x - 3}{x^{4}}$

Étape 6.3.5

Pour écrire $3 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{3 x^{2} x^{4}}{x^{4}} + \frac{4 x - 3}{x^{4}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} x^{4} + 4 x - 3}{x^{4}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{3 (x^{4} x^{2}) + 4 x - 3}{x^{4}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4 + 2} + 4 x - 3}{x^{4}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.7.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{3 x^{6} + 4 x - 3}{x^{4}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.8

Pour écrire $\frac{3 x^{6} + 4 x - 3}{x^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{6} + 4 x - 3}{x^{4}} \cdot \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{6}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.9.1

Multipliez $\frac{3 x^{6} + 4 x - 3}{x^{4}}$ par $\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ .

$\frac{(3 x^{6} + 4 x - 3) (3 x^{2})}{x^{4} (3 x^{2})} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(3 x^{6} + 4 x - 3) (3 x^{2})}{3 x^{4} x^{2}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.9.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.9.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{(3 x^{6} + 4 x - 3) (3 x^{2})}{3 (x^{2} x^{4})} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.9.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 x^{6} + 4 x - 3) (3 x^{2})}{3 x^{2 + 4}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.9.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{(3 x^{6} + 4 x - 3) (3 x^{2})}{3 x^{6}} + \frac{5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x^{6} + 4 x - 3) (3 x^{2}) + 5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.11

Déplacez $3$ à gauche de $3 x^{6} + 4 x - 3$ .

$\frac{3 \cdot (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.12

Pour écrire $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{\frac{11}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{6}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{11}{2}})} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{11}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.13.2.1

Déplacez $x^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{x^{\frac{11}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 3} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{x^{\frac{11}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{x^{\frac{11 + 1}{2}} \cdot 3} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13.2.4

Additionnez $11$ et $1$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{x^{\frac{12}{2}} \cdot 3} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13.2.5

Divisez $12$ par $2$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{x^{6} \cdot 3} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.13.3

Réorganisez les facteurs de $x^{6} \cdot 3$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5}{3 x^{6}} + \frac{3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 6.3.15

Pour écrire $\frac{3}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{4}}{3 x^{4}}$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3 x^{4}}{3 x^{4}}$

Étape 6.3.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{6}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.16.1

Multipliez $\frac{3}{x^{2}}$ par $\frac{3 x^{4}}{3 x^{4}}$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3 (3 x^{4})}{x^{2} (3 x^{4})}$

Étape 6.3.16.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.16.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3 (3 x^{4})}{x^{4} x^{2} \cdot 3}$

Étape 6.3.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3 (3 x^{4})}{x^{4 + 2} \cdot 3}$

Étape 6.3.16.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3 (3 x^{4})}{x^{6} \cdot 3}$

Étape 6.3.16.3

Réorganisez les facteurs de $x^{6} \cdot 3$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}}}{3 x^{6}} + \frac{3 (3 x^{4})}{3 x^{6}}$

Étape 6.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}} + 3 (3 x^{4})}{3 x^{6}}$

Étape 6.3.18

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 (3 x^{6} + 4 x - 3) x^{2} + 5 + 3 x^{\frac{11}{2}} + 9 x^{4}}{3 x^{6}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 x^{4} + 3 x^{2} (3 x^{6} + 4 x - 3) + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{4} + 3 x^{2} (3 x^{6}) + 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.2

Simplifiez

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Étape 6.5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{2} x^{6} + 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{2} x^{6} + 3 \cdot 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.2.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{2} x^{6} + 3 \cdot 4 x^{2} x - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.3.1.1

Déplacez $x^{6}$ .

$\frac{9 x^{4} + 3 \cdot 3 (x^{6} x^{2}) + 3 \cdot 4 x^{2} x - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{6 + 2} + 3 \cdot 4 x^{2} x - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.1.3

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{2} x - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 x^{4} + 9 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{2} x - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.3.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{9 x^{4} + 9 x^{8} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.5.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 x^{4} + 9 x^{8} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{4} + 9 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{1 + 2} - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 x^{4} + 9 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.3.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{9 x^{4} + 9 x^{8} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$

Étape 6.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 x^{8} + 9 x^{4} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x^{\frac{11}{2}} + 5}{3 x^{6}}$