Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.7.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.7.3

Multipliez.

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Étape 3.7.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.7.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.7.5

Divisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Étape 3.11.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 3.11.3

Réorganisez les facteurs de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$