Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1

Soustrayez $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 2

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$d \int \frac{- 2 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{- 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int \frac{- 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 6

Additionnez $2$ et $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 11

Divisez $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ par $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Étape 11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Étape 11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$

Étape 11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Étape 11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Étape 11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

Étape 11.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Étape 11.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Étape 11.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

					-	$2 x$	-	$6$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$
					+	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$6 x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
							-	$6 x^{2}$	+	$24 x$	-	$24$

Étape 11.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 24 x - 24$

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

Étape 11.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

$17 x$

$24$

Étape 11.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$d \int - 2 x - 6 + \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int - 2 x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 13

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$d (- 2 \int x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 15

Appliquez la règle de la constante.

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 16

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Étape 17

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 17.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 17.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 17.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Étape 17.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 17.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Étape 17.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{- 17 x + 24}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 17.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 17.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Étape 17.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 17.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 17.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 17.1.5.2

Divisez $- 17 x + 24$ par $1$ .

$- 17 x + 24 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 17.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 17.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 17 x + 24 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 17.1.6.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Étape 17.1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et $x - 2$ .

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Étape 17.1.6.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Étape 17.1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Étape 17.1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Étape 17.1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 17 x + 24 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Étape 17.1.6.2.2.4

Divisez $B (x - 2)$ par $1$ .

$- 17 x + 24 = A + B (x - 2)$

Étape 17.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 17 x + 24 = A + B x + B \cdot - 2$

Étape 17.1.6.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $B$ .

$- 17 x + 24 = A + B x - 2 B$

Étape 17.1.7

Remettez dans l’ordre $A$ et $B x$ .

$- 17 x + 24 = B x + A - 2 B$

Étape 17.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 17.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 17 = B$

Étape 17.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$24 = A - 2 B$

Étape 17.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

Étape 17.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 17.3.1

Réécrivez l’équation comme $B = - 17$ .

$B = - 17$

$24 = A - 2 B$

Étape 17.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 17$ dans chaque équation.

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Étape 17.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $24 = A - 2 B$ par $- 17$ .

$24 = A - 2 \cdot - 17$

$B = - 17$

Étape 17.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.3.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 17$ .

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

Étape 17.3.3

Résolvez $A$ dans $24 = A + 34$ .

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Étape 17.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A + 34 = 24$ .

$A + 34 = 24$

$B = - 17$

Étape 17.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 17.3.3.2.1

Soustrayez $34$ des deux côtés de l’équation.

$A = 24 - 34$

$B = - 17$

Étape 17.3.3.2.2

Soustrayez $34$ de $24$ .

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

Étape 17.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = - 10 B = - 17$

Étape 17.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - 10, B = - 17$

Étape 17.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Étape 17.5

Simplifiez

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Étape 17.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Étape 17.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 18

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - \int \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 20

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - (10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 21

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 22

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 22.1

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 22.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 22.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 22.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 22.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 22.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 22.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 23

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 23.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 23.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 23.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 23.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 24

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 25

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{17}{x - 2} d x)$

Étape 26

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , placez $17$ en dehors de l’intégrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (17 \int \frac{1}{x - 2} d x))$

Étape 27

Multipliez $17$ par $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Étape 28

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 28.1

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 28.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 28.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 28.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 28.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 28.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 28.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 29

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 30

Simplifiez

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{u_{1}} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 31

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 31.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 31.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| x - 2 |)) + C$