Calcul infinitésimal Exemples

$7 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.8

Associez $7$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 1.9

Multipliez $3$ par $7$ .

$f' (x) = \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{21}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{21}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{21}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{21}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{21}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.10

Multipliez.

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Étape 2.10.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Étape 2.10.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$