Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \cos (\frac{1}{t}) e^{5 t^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = \cos (\frac{1}{t})$ et $g (t) = e^{5 t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t^{2}}] + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 5 t^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 t^{2}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 t^{2}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 \frac{d}{d t} [t^{2}])) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 (2 t))) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = \frac{1}{t}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{1}{t}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{1}{t}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{t}$ comme $t^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [t^{- 1}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) (- t^{- 2}))$

Étape 5.3

Multipliez.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (1 \sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

Étape 5.3.2

Multipliez $\sin (\frac{1}{t})$ par $1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) \frac{1}{t^{2}})$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $\sin (\frac{1}{t})$ et $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

Étape 6.2.2

Associez $e^{5 t^{2}}$ et $\frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

Étape 6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ .

$10 t e^{5 t^{2}} \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$