Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Étape 5.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Étape 16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Étape 16.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 16.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$