Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x}}{4 x + 1}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x}}{4 x + 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x (1)}}{4 x + 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x) + 4 x (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $4 x (x + 1)$ comme $2^{2} (x (x + 1^{2}))$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

Étape 1.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} (x (x + 1^{2}))}}{4 x + 1}$

Étape 1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

Étape 1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x + 1)}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 7.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Étape 11.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + 0}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 + 0}}{1}}{4 + 0}$

Étape 13.2

Divisez $\sqrt{1 + 0}$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{4 + 0}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4 + 0$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{1 + 0}$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{4 + 0}$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot 2 + 0}$

Étape 13.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 0}$

Étape 13.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot (2 + 0)}$

Étape 13.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot (2 + 0)}$

Étape 13.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Étape 13.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Étape 13.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$