Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $e^{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Laissez $u = \sqrt{x}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

$\int 2 u e^{u} d u$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u e^{u} d u$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 8

Simplifiez

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$