Calcul infinitésimal Exemples

${(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Écrivez ${(x - 4)}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.1.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Étape 2.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Étape 2.1.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 4) (x - 4)))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 4) - 4 (x - 4)))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4))$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4))$

Étape 2.1.2.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4))$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16))$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 8 x + 16))$

Étape 2.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x^{2} - 8 x + 16)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 16)$

Étape 2.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (16))$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (16))$

Étape 2.1.2.7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (16))$

Étape 2.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16))$

Étape 2.1.2.9

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (16))$

Étape 2.1.2.10

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 8 + 0)$

Étape 2.1.2.11

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 8)$

Étape 2.1.2.12

Simplifiez

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Étape 2.1.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Étape 2.1.2.12.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.12.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 8$

Étape 2.1.2.12.2.2

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 24 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Étape 2.2.2

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 24$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 24$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 24$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.1

Divisez $24$ par $6$ .

$x = 4$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 6 (0) - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Étape 5.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 4)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 6 (6) - 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (6) = 36 - 24$

Étape 6.2.2

Soustrayez $24$ de $36$ .

$f'' (6) = 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(4, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8