Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ est indéfinie.

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Étape 2.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Étape 2.2.1.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Étape 2.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Étape 2.2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Étape 2.2.1.3.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $3$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $3$ retiré.

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - \infty}$

Étape 2.2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.1.3.3.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$2 \frac{\infty}{5 + - \infty}$

Étape 2.2.1.3.3.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.2.1.3.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.2.1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Étape 2.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Étape 2.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Étape 2.2.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Étape 2.2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 e^{x}}$

Étape 2.2.3.6

Soustrayez $3 e^{x}$ de $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 3}$

Étape 2.3

Évaluez la limite.

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Étape 2.3.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{- 3}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 (\frac{1}{- 3})$

Étape 2.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{3})$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\frac{1}{3})$

Étape 2.3.2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Étape 3.3.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{0}{5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Étape 3.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Étape 3.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 \cdot 0}$

Étape 3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $5 - 3 \cdot 0$ .

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Étape 3.5.1.1

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - 3 \cdot 0}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cdot 0$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 3 \cdot 0)}$

Étape 3.5.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$2 \frac{5 (0)}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Étape 3.5.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)$ .

$2 \frac{5 (0)}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Étape 3.5.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{5 \cdot 0}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Étape 3.5.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (\frac{0}{1})$

Étape 3.5.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 \cdot 0$

Étape 3.5.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = - \frac{2}{3}, 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \ln (\frac{5}{3})$

Asymptotes horizontales : $y = - \frac{2}{3}, 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7