Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Étape 2.1.1.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.2.1

Pour écrire $e^{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Étape 2.1.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Étape 2.1.2.2

Combinez les facteurs.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $e$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $e^{x}$ par $e$ .

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Étape 2.1.2.2.3.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Étape 2.1.2.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Étape 2.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Étape 2.2.1.2

Comme l’exposant $x + 1$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x + 1}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Étape 2.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.2.1.3.2

Comme l’exposant $x + 1$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x + 1}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.2.1.3.3

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1.3.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Étape 2.2.1.3.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.1.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Étape 2.2.1.3.3.2.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.3.3.2.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.3.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.7

Multipliez $e^{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Étape 2.2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x + 1} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Étape 2.2.3.9.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.3.9.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.9.6

Multipliez $e^{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.2.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Étape 2.2.3.11

Additionnez $e^{x + 1}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{x + 1}$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} 1$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$1$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Étape 3.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite.

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Étape 3.5.1

Évaluez la limite de $e^{- 1}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Étape 3.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Étape 3.5.2.1.2

Soustrayez $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$0 (- e)$

Étape 3.5.2.3

Multipliez $0 (- e)$ .

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Étape 3.5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $0$ par $e$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 1, 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Asymptotes horizontales : $y = 1, 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7