Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{12}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{12}{y^{2} + 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{2} + 1, 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y^{2} + 1, 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{2} + 1$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ par $y^{2} + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ par $y^{2} + 1$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$12 = x (y^{2} + 1)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 = x y^{2} + x \cdot 1$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$12 = x y^{2} + x$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{2} + x = 12$ .

$x y^{2} + x = 12$

Étape 2.4.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x y^{2} = 12 - x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $x y^{2} = 12 - x$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} = 12 - x$ par $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 2.4.3.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} - 1$

Étape 2.4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$

Étape 2.4.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$ .

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Étape 2.4.5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Étape 2.4.5.2

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} + \frac{- x}{x}}$

Étape 2.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{12 - x}{x}}$

Étape 2.4.5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{12 - x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$

Étape 2.4.5.5

Multipliez $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 2.4.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.5.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 2.4.5.6.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 2.4.5.6.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 2.4.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.4.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.4.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 2.4.5.6.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x}$

Étape 2.4.5.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$

Étape 2.4.5.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Étape 2.4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Étape 2.4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Étape 2.4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(0, 12]$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (12 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (12 - x) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$12 - x = 0$

Étape 4.3.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3.2.3

Définissez $12 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Définissez $12 - x$ égal à $0$ .

$12 - x = 0$

Étape 4.3.2.3.2

Résolvez $12 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.3.2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 12$

Étape 4.3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 12$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 12$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 12$ par $- 1$ .

$x = 12$

Étape 4.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (12 - x) \geq 0$ vraie.

$x = 0, 12$

Étape 4.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Étape 4.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (12 - (- 2)) \geq 0$

Étape 4.3.2.6.1.3

Le côté gauche $- 28$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 4.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) (12 - (2)) \geq 0$

Étape 4.3.2.6.2.3

Le côté gauche $20$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 4.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$(14) (12 - (14)) \geq 0$

Étape 4.3.2.6.3.3

Le côté gauche $- 28$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 12$ Vrai

$x > 12$ Faux

Étape 4.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 12$

Étape 4.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.3.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, 12]$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{x^{2} + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 4.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 4.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 4.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 4.4.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ est le domaine de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Étape 5