Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sec (x)$ , $x = \frac{π}{4}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{4}$ .

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\sec (\frac{π}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = \sqrt{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 2.2

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.3.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $\sqrt{2}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.4

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Pour écrire $\sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.3.3.2

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Étape 3.3.3.4

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) + 4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.3.8

Réécrivez $- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ comme $- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 4