Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + 3 e^{x}$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = 1 + 3 e^{1}$

Étape 1.2

Simplifiez

$y = 1 + 3 e$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1 + 3 e$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + 3 e^{x}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $3 e^{x}$ .

$3 e^{x}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$3 e^{1}$

Étape 2.5

Simplifiez

$3 e$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $3 e$ et un point donné, tel que $(1, 1 + 3 e)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 + 3 e) = 3 e \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 - 3 e = 3 e \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $3 e \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 - 3 e = 0 + 0 + 3 e \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 - 3 e = 3 e \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 - 3 e = 3 e x + 3 e \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y - 1 - 3 e = 3 e x - 3 e$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y - 3 e = 3 e x - 3 e + 1$

Étape 3.3.2.2

Ajoutez $3 e$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3 e x - 3 e + 1 + 3 e$

Étape 3.3.2.3

Associez les termes opposés dans $3 e x - 3 e + 1 + 3 e$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Additionnez $- 3 e$ et $3 e$ .

$y = 3 e x + 0 + 1$

Étape 3.3.2.3.2

Additionnez $3 e x$ et $0$ .

$y = 3 e x + 1$

Étape 3.3.3

Déplacez $e$ .

$y = 3 x e + 1$

Étape 4