Calcul infinitésimal Exemples

$7 x + 5 x^{- 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = 7 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$f' (x) = 7 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 7 + 5 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = 7 - 5 x^{- 2}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{- 2} + 7$ .

$- 5 x^{- 2} + 7$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{- 2} + 7 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 7 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 7 = 0$

Étape 2.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} + 7 = 0$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{2}} + 7 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{5}{x^{2}} = - 7$

Étape 2.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ par $x^{2}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Étape 2.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

Étape 2.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 5 = - 7 x^{2}$

Étape 2.6

Résolvez l’équation.

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $- 7 x^{2} = - 5$ .

$- 7 x^{2} = - 5$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x^{2} = - 5$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x^{2} = - 5$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 7}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{5}{7}$

Étape 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ .

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Étape 2.6.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 2.6.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 2.6.4.3.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 2.6.4.3.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 2.6.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 2.6.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 2.6.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.6.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.6.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.6.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.6.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 2.6.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Étape 2.6.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Étape 2.6.4.4.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 2.6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 2.6.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 2.6.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez la base dans $x^{- 2}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $7 x + 5 x^{- 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt{35}}{7}$ .

$7 (\frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{\sqrt{35}}{7} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{35} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.1.2.1.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7}{\sqrt{35}}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{35}}$ par $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sqrt{35} + 5 (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Étape 4.1.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.4.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{35}}$ par $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Étape 4.1.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Étape 4.1.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Étape 4.1.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 4.1.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Étape 4.1.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35}$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $35$ .

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

Étape 4.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

Étape 4.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Divisez $\sqrt{35}$ par $1$ .

$\sqrt{35} + \sqrt{35}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $\sqrt{35}$ et $\sqrt{35}$ .

$2 \sqrt{35}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\sqrt{35}}{7}$ .

$7 (- \frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{35}}{7}$ dans le numérateur.

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{35} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7}{\sqrt{35}})$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{35}}$ par $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}))$

Étape 4.2.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{35}}$ par $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}})$

Étape 4.2.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}})$

Étape 4.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Étape 4.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Étape 4.2.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 4.2.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.2.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.2.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.2.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.2.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}})$

Étape 4.2.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35})$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 \sqrt{35}}{35}$ dans le numérateur.

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{35}$

Étape 4.2.2.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $35$ .

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

Étape 4.2.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

Étape 4.2.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{35} + \frac{- 7 \sqrt{35}}{7}$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $- 7$ et $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 \sqrt{35}$ .

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 (1)}$

Étape 4.2.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{35} + \frac{- \sqrt{35}}{1}$

Étape 4.2.2.1.6.2.4

Divisez $- \sqrt{35}$ par $1$ .

$- \sqrt{35} - \sqrt{35}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{35}$ de $- \sqrt{35}$ .

$- 2 \sqrt{35}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$7 (0) + 5 {(0)}^{- 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{- 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

Étape 4.3.2.1.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

Étape 4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{\sqrt{35}}{7}, 2 \sqrt{35}), (- \frac{\sqrt{35}}{7}, - 2 \sqrt{35})$

Étape 5