Calcul infinitésimal Exemples

$16 x^{4} + 125 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{4} + 125 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{4}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $125$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $125 x$ par rapport à $x$ est $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $125$ par $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $64 x^{3} + 125 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{3} = - 125$

Étape 2.3

Ajoutez $125$ aux deux côtés de l’équation.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Étape 2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $64 x^{3}$ comme ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Étape 2.4.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Étape 2.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 4 x$ et $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.4.4

Simplifiez

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Étape 2.4.4.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.4.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.4.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.4.4.4

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Étape 2.4.4.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Étape 2.6

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $4 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 5$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 2.7

Définissez $16 x^{2} - 20 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $16 x^{2} - 20 x + 25$ égal à $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Étape 2.7.2

Résolvez $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = - 20$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3

Simplifiez

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Étape 2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.3.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Étape 2.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.3

Soustrayez $1600$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 1200$ comme $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1200)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.7

Réécrivez $1200$ comme $20^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.2.3.1.7.1

Factorisez $400$ à partir de $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.1.9

Déplacez $20$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.7.2.3.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.4.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Étape 2.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.3

Soustrayez $1600$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 1200$ comme $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1200)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.7

Réécrivez $1200$ comme $20^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.2.4.1.7.1

Factorisez $400$ à partir de $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.7.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.1.9

Déplacez $20$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.7.2.4.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.5.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

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Étape 2.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.3

Soustrayez $1600$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 1200$ comme $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1200)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.7

Réécrivez $1200$ comme $20^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.2.5.1.7.1

Factorisez $400$ à partir de $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.7.2

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.1.9

Déplacez $20$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.7.2.5.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $16 x^{4} + 125 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{4}$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ par $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $125 (- \frac{5}{4})$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Étape 4.1.2.1.7.2

Associez $- 125$ et $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Étape 4.1.2.1.7.3

Multipliez $- 125$ par $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Étape 4.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{625}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{625}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 625$ par $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $2500$ de $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1875}{16}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Étape 5