Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 5 x$ , $[- 4, 0]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x + 5$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 5$ .

$2 x + 5$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 5 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} + 5 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{2}$ .

${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 1.4.1.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2}$

Étape 1.4.1.2.1.6.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2}$

Étape 1.4.1.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{4} - \frac{25}{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{25}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 25 \cdot 2}{4}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{25 - 50}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Soustrayez $50$ de $25$ .

$\frac{- 25}{4}$

Étape 1.4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{4}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{25}{4})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

${(- 4)}^{2} + 5 (- 4)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 + 5 (- 4)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$16 - 20$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $20$ de $16$ .

$- 4$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + 5 (0)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 5 (0)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 4, - 4), (0, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 0)$

Minimum absolu : $(- \frac{5}{2}, - \frac{25}{4})$

Étape 4