Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{15 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 1.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 1.2.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 1.2.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 1.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 1.2.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

Étape 1.2.9

Associez $5$ et $\frac{1}{15}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

Étape 1.2.10

Associez $\frac{5}{15}$ et $x^{- 6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

Étape 1.2.11

Placez $x^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

Étape 1.2.12

Annulez le facteur commun à $5$ et $15$ .

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Étape 1.2.12.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

Étape 1.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

Étape 1.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

Étape 1.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

Étape 3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

Étape 4

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 5

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

Étape 7.2

Additionnez $15$ et $1$ .

$f' (1) = \frac{16}{3}$