Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{e^{x}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Étape 1.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $x^{e^{x}}$ comme $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Étape 1.2.2

Développez $\ln (x^{e^{x}})$ en déplaçant $e^{x}$ hors du logarithme.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.6

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 1.8.2

Associez des termes.

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Étape 1.8.2.1

Associez $\frac{e^{x}}{x}$ et $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 1.8.2.2

Associez $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ et $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 1.8.2.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{e^{x} \ln (x)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.2.3.1

Déplacez $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 1.8.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 1.8.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 1.8.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Étape 1.8.2.6

Pour écrire $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Étape 1.8.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Étape 1.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Étape 3.2

Divisez $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ par $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Simplifiez

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.1.3

Multipliez $e$ par $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.6

Multipliez $2 e \cdot 0$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $0$ par $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Étape 4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1

Simplifiez

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Étape 4.7.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Étape 4.7.3

Multipliez $e$ par $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Étape 4.8

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Étape 4.9

Simplifiez

$f' (1) = 0 + 2 e$

Étape 5

Additionnez $0$ et $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$