Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)})$

Étape 2

La dérivée de $p$ par rapport à $q$ est $p'$ .

$p'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ est $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ où $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ et $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (q) + \cos (q)$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (q)$ par rapport à $q$ est $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.4

La dérivée de $\cos (q)$ par rapport à $q$ est $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.5

La dérivée de $\sin (q)$ par rapport à $q$ est $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.4.1

Associez les termes opposés dans $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

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Étape 3.6.4.1.1

Soustrayez $\sin (q) \cos (q)$ de $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.1.2

Additionnez $\sin (q) (- \sin (q))$ et $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.2

Multipliez $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Étape 3.6.4.2.2.1

Élevez $\sin (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.2.2

Élevez $\sin (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.3

Multipliez $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Étape 3.6.4.2.3.1

Élevez $\cos (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.3.2

Élevez $\cos (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.5

Associez des termes.

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Étape 3.6.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Étape 3.6.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ à $\csc^{2} (q)$ .

$- \csc^{2} (q)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = - \csc^{2} (q)$

Étape 5

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \csc^{2} (q)$