Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{6 \sqrt[6]{q}}{1 - q}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{q}$ comme $q^{\frac{1}{6}}$ .

$p = \frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q})$

Étape 3

La dérivée de $p$ par rapport à $q$ est $p'$ .

$p'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$ par rapport à $q$ est $6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$ .

$6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ est $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ où $f (q) = q^{\frac{1}{6}}$ et $g (q) = 1 - q$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{d}{d q} [q^{\frac{1}{6}}] - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{6}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{- 5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{- \frac{5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $q^{- \frac{5}{6}}$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{q^{- \frac{5}{6}}}{6} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Placez $q^{- \frac{5}{6}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - q$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.10

Comme $1$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $1$ par rapport à $q$ est $0$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (0 + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d q} [- q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [- q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $- q$ par rapport à $q$ est $- \frac{d}{d q} [q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (- \frac{d}{d q} [q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.13

Multipliez.

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Étape 4.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 1 q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.13.2

Multipliez $q^{\frac{1}{6}}$ par $1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \cdot 1}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.15

Associez les fractions.

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Étape 4.15.1

Multipliez $q^{\frac{1}{6}}$ par $1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.15.2

Associez $6$ et $\frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ .

$\frac{6 ((1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16

Simplifiez

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Étape 4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.16.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.16.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ par $1$ .

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.16.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.3

Associez $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ et $q$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.16.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ dans le numérateur.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + \frac{- q}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.5

Placez $q^{\frac{5}{6}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q \cdot q^{- \frac{5}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.6

Multipliez $q$ par $q^{- \frac{5}{6}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.16.3.1.6.1

Déplacez $q^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.6.2

Multipliez $q^{- \frac{5}{6}}$ par $q$ .

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Étape 4.16.3.1.6.2.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q^{1}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + 1} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + \frac{6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{- 5 + 6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.1.6.5

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.3.2

Additionnez $- q^{\frac{1}{6}}$ et $6 q^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4

Associez des termes.

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Étape 4.16.4.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ par $\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.2

Associez.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} (\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.4

Annulez le facteur commun de $q^{\frac{5}{6}}$ .

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Étape 4.16.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.5

Multipliez $q^{\frac{5}{6}}$ par $q^{\frac{1}{6}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.16.4.5.1

Déplacez $q^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6}} q^{\frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + q^{\frac{1 + 5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.5.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{1 + q^{\frac{6}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.5.5

Divisez $6$ par $6$ .

$\frac{1 + q^{1} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.6

Simplifiez $q^{1} \cdot 5$ .

$\frac{1 + q \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.4.7

Déplacez $5$ à gauche de $q$ .

$\frac{1 + 5 q}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 4.16.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$