Calcul infinitésimal Exemples

$v = V e^{- (\frac{t}{T})}$

Étape 1

Multipliez $- 1$ par $\frac{t}{T}$ .

$v' = V e^{- \frac{t}{T}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} (V e^{- \frac{t}{T}})$

Étape 3

La dérivée de $v'$ par rapport à $t$ est $v''$ .

$v''$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $V$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $V e^{- \frac{t}{T}}$ par rapport à $t$ est $V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$ .

$V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - \frac{t}{T}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{t}{T}$ .

$V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$V (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{T}$ .

$V (e^{- \frac{t}{T}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Comme $- \frac{1}{T}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{T}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t]$ .

$V e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3.2

Associez les fractions.

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Étape 4.3.2.1

Associez $V$ et $\frac{1}{T}$ .

$e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{V}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3.2.2

Associez $e^{- \frac{t}{T}}$ et $\frac{V}{T}$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \cdot 1$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T}$

Étape 4.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{t}{T}} V$ .

$- \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$v'' = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Étape 6

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$