Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (\sqrt{3 t})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 t}$ comme ${(3 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $3 t$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \tan (y)$ et $g (y) = 3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = t$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.11

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t]))$

Étape 4.12

Associez $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ et $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t])$

Étape 4.13

Associez $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ et $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [t]$

Étape 4.14

Réécrivez $\frac{d}{d y} [t]$ comme $t'$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} t'$

Étape 4.15

Associez $\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ et $t'$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $t'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} (2 t^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{2 t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t' = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.1.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) t'$ .

$t' \cdot 3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 t^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $2 t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$t' \cdot 3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) = 2 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $t' \cdot (3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ par $3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $t' \cdot (3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ par $3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{t' \cdot (3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}))}{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t' \cdot \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{t' \cdot \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.4.2.4

Divisez $t'$ par $1$ .

$t' = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 7

Remplacez $t'$ par $\frac{d t}{d y}$ .

$\frac{d t}{d y} = \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}$