Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{3} - 5)}^{5}] + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{5}$ et $g (t) = 2 t^{3} - 5$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t^{3} - 5$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (t (5 u^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t^{3} - 5$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{3} - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{3}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + 0)) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Additionnez $6 t^{2}$ et $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2})) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$3 (t (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4} t^{2}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$3 (t^{2} t^{1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (t^{2 + 1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez ${(2 t^{3} - 5)}^{5}$ par $1$ .

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Étape 3.10.2

Multipliez $30$ par $3$ .

$90 (t^{3} ({(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Étape 3.10.3

Factorisez $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ à partir de $90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4} + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

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Étape 3.10.3.1

Factorisez $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ à partir de $90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

Étape 3.10.3.2

Factorisez $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ à partir de $3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$

Étape 3.10.3.3

Factorisez $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ à partir de $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3} + 2 t^{3} - 5)$

Étape 3.10.4

Additionnez $30 t^{3}$ et $2 t^{3}$ .

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$