Calcul infinitésimal Exemples

$z = x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.11

Soustrayez $1$ de $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.12

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x) + 2 (- 4 x^{2})) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Associez des termes.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x \cdot x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.7

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.10

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + 1 x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.12

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.13

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} x}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{1 + 2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.16

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.17

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 8 x^{3} - x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.18

Additionnez $- 8 x^{3}$ et $8 x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2} + 0}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.19

Additionnez $2 x - x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.20

Pour écrire $3 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$