Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\sqrt{4 t})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 t}$ comme ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\arctan ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2 t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \arctan (t)$ et $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.5.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 (t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6.2.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.6.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.6.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.7

Simplifiez

$\frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.8

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.9

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + 4 t}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.12

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.14.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.17

Multipliez $\frac{2}{1 + 4 t}$ par $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + 4 t) \cdot 2}$

Étape 4.18

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.18.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 + 4 t$ .

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + 4 t)}$

Étape 4.18.2

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21

Simplifiez

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Étape 4.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.2

Associez des termes.

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Étape 4.21.2.1

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.2.2

Multipliez $t$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.21.2.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Étape 4.21.2.2.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 4.21.2.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Étape 4.21.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 4.21.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 4.21.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 4.21.2.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.21.4.1

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.21.4.1.1

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Étape 4.21.4.1.3

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Étape 4.21.4.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{1} + 1)}$

Étape 4.21.4.3

Simplifiez

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$