Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 1.3.2.1

Associez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Étape 1.3.6

Multipliez $e^{- \frac{x}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.2

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.8

Associez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.9

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.2.10

Multipliez $e^{- \frac{x}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Étape 2.3.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})$

Étape 2.3.5

Associez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.5

Associez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.6

Soustrayez $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ de $- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - 2 \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.7

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- 2 e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Étape 2.4.2.8

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.4.2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2}$

Étape 2.4.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 (1)}$

Étape 2.4.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- e^{- \frac{x}{2}}}{1}$

Étape 2.4.2.8.2.4

Divisez $- e^{- \frac{x}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.3.2.1

Associez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $e^{- \frac{x}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $e^{- \frac{x}{2}}$ à partir de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{- \frac{x}{2}}$ à partir de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{- \frac{x}{2}}$ à partir de $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{- \frac{x}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{- \frac{x}{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $- \frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- \frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ .

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Étape 5.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

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Étape 5.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.5.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(2) e^{- \frac{2}{2}}}{4} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Placez $e^{- \frac{2}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{1}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.4

Simplifiez

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 9.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 9.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1}$

Étape 9.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e}$

Étape 9.2

Pour écrire $- \frac{1}{e}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 e$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{e \cdot 2}$

Étape 9.3.2

Réorganisez les facteurs de $e \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{2 e}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2}{2 e}$

Étape 9.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 e}$

Étape 9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 e}$

Étape 10

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = (2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 11.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f (2) = \frac{2}{e}$

Étape 11.2.5

La réponse finale est $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ .

$(2, \frac{2}{e})$ est un maximum local

Étape 13