Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.12

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Étape 1.13.2

Annulez le facteur commun.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.13.3

Réécrivez l’expression.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.15.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.15.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.4

Développez $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.5.1.1

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.2

Multipliez $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.3

Multipliez $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.3.3

Associez $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.5.1.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.5.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.5.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.5.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.15.5.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.15.5.1.6.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Étape 1.15.5.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Étape 1.15.5.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Étape 1.15.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Étape 1.15.5.2

Soustrayez $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.9

Associez $- 6$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.11

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.12

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 4.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 4.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.1.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.12

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Étape 4.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.15.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.15.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f' (x) = (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.4

Développez $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.5.1.1

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.2

Multipliez $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.3

Multipliez $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.3.3

Associez $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.5.1.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.5.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.5.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.5.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.5.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.15.5.1.6.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Étape 4.1.15.5.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Étape 4.1.15.5.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Étape 4.1.15.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Étape 4.1.15.5.2

Soustrayez $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Étape 5.2.2

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$2 u^{2} - 6 u + 4 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2} - 6 u + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) - 6 u + 4 = 0$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (- 3 u) + 4 = 0$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Étape 5.2.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2} + 2 (- 3 u)$ .

$2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Étape 5.2.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2$ .

$2 (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Factorisez $u^{2} - 3 u + 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 5.2.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Étape 5.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (u - 2) (u - 1) = 0$

Étape 5.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 2$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Étape 5.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 5.4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 5.4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 2^{2}$

Étape 5.4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 2^{2}$

Étape 5.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = 4$

Étape 5.5

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Étape 5.5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 1^{2}$

Étape 5.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ vraie.

$x = 4, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$2 x - 6 \sqrt{x^{1}} + 4$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$2 x - 6 \sqrt{x} + 4$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 - \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 - \frac{3}{2^{1}}$

Étape 9.1.4

Évaluez l’exposant.

$2 - \frac{3}{2}$

Étape 9.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 9.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 3}{2}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 10

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {((4) - 2 \sqrt{4})}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (4) = {(4 - 2 \sqrt{2^{2}})}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4) = {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (4) = {(4 - 4)}^{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (4) = 0^{2}$

Étape 11.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (4) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - \frac{3}{1}$

Étape 13.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$2 - 1 \cdot 3$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 - 3$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- 1$

Étape 14

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {((1) - 2 \sqrt{1})}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = {(1 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = {(1 - 2)}^{2}$

Étape 15.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = {(- 1)}^{2}$

Étape 15.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (1) = 1$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$ .

$(4, 0)$ est un minimum local

$(1, 1)$ est un maximum local

Étape 17