Calcul infinitésimal Exemples

$- e^{- t^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- t^{2}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}}]$ .

$f' (t) = - \frac{d}{d t} e^{- t^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- t^{2}$ .

$f' (t) = - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (t) = - (e^{u} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t^{2}$ .

$f' (t) = - (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = - e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2})$

Étape 1.3.2

Multipliez.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (t) = 1 e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $e^{- t^{2}}$ par $1$ .

$f' (t) = e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (t) = e^{- t^{2}} (2 t)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- t^{2}} (2 t)$ .

$f' (t) = 2 e^{- t^{2}} t$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{- t^{2}} t$ .

$f' (t) = 2 t e^{- t^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t e^{- t^{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t e^{- t^{2}}]$ .

$f'' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t e^{- t^{2}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- t^{2}}$ .

$f'' (t) = 2 (t \frac{d}{d t} (e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} (- (2 t))) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} (- 2 t)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = 2 (t \cdot t (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.6

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = 2 (t \cdot t (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (t) = 2 (t^{1 + 1} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- t^{2}}$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 \cdot e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $e^{- t^{2}}$ par $1$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 e^{- t^{2}})) + 2 e^{- t^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (t) = - 4 t^{2} e^{- t^{2}} + 2 e^{- t^{2}}$

Étape 2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (t) = - 4 e^{- t^{2}} t^{2} + 2 e^{- t^{2}}$

Étape 2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- t^{2}} t^{2} + 2 e^{- t^{2}}$ .

$f'' (t) = - 4 t^{2} e^{- t^{2}} + 2 e^{- t^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 t^{2} e^{- t^{2}} + 2 e^{- t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 4 t^{2} e^{- t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 e^{- t^{2}}]$ .

$f''' (t) = \frac{d}{d t} (- 4 t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 4 t^{2} e^{- t^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 t^{2} e^{- t^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [t^{2} e^{- t^{2}}]$ .

$f''' (t) = - 4 \frac{d}{d t} (t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = e^{- t^{2}}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} \frac{d}{d t} (e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- (2 t))) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- (2 t))) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- 2 t)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.8

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.8.1

Déplacez $t$ .

$f''' (t) = - 4 (t \cdot t^{2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f''' (t) = - 4 (t \cdot t^{2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (t) = - 4 (t^{1 + 2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- t^{2}}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 e^{- t^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 e^{- t^{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}}]$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 \frac{d}{d t} (e^{- t^{2}})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Étape 3.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2}))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} (- (2 t)))$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} (- 2 t))$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}})) - 4 (e^{- t^{2}} (2 t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f''' (t) = 8 (t^{3} (e^{- t^{2}})) - 4 (e^{- t^{2}} (2 t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f''' (t) = 8 t^{3} e^{- t^{2}} - 8 (e^{- t^{2}} (t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Étape 3.4.2.3

Soustrayez $4 e^{- t^{2}} t$ de $- 8 e^{- t^{2}} t$ .

$f''' (t) = 8 t^{3} e^{- t^{2}} - 12 e^{- t^{2}} t$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (t) = 8 e^{- t^{2}} t^{3} - 12 e^{- t^{2}} t$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{- t^{2}} t^{3} - 12 e^{- t^{2}} t$ .

$f''' (t) = 8 t^{3} e^{- t^{2}} - 12 t e^{- t^{2}}$