Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - \tan (x)$

Étape 1

Écrivez $y = 2 x - \tan (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.2.2.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 2.2.2.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.2.2.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Étape 2.2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Étape 2.2.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.2.3

Soustrayez $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Étape 3.3

Définissez $\sec^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\sec^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\sec^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (x) = \pm 0$

Étape 3.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 3.3.2.3

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3.4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Le point trouvé en remplaçant dans $f (x) = 2 x - \tan (x)$ est $(,)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(,)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty,)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $0.20268949$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty,)$ .

Augmente sur $(- \infty,)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Étape 7.2

La réponse finale est $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.20268949$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(, \infty)$

Diminue sur $(, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(,)$ .

$(,)$

Étape 9