Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Étape 3

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Étape 5

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Étape 6.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Étape 6.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Étape 6.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Étape 6.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Étape 6.3.3.3

Multipliez $4$ par $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Étape 6.3.3.4

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Étape 7.3.3

Multipliez $48$ par $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Étape 7.3.5

Additionnez $- 12 x^{2}$ et $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Étape 7.3.6

Soustrayez $24 x$ de $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$