Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (\int x^{11} d x)$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int x^{11} d x]$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int x^{11} d x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{1}{x}$ et $g (x) = \int x^{11} d x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\int x^{11} d x] + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

$\int x^{11} d x$ est une dérivée première de $x^{11}$ , donc par définition $\frac{d}{d x} [\int x^{11} d x]$ est $x^{11}$ .

$\frac{1}{x} x^{11} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $x^{11}$ .

$\frac{x^{11}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{11}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{11}$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x^{1}} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{10}}{1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{10}$ par $1$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x (- x^{- 2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{10} + \int x^{11} d x (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{10} - \frac{1}{x^{2}} \int x^{11} d x$

Étape 6.3

Associez $- \frac{1}{x^{2}}$ et $\int x^{11} d x$ .

$x^{10} - \frac{\int x^{11} d x}{x^{2}}$