Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 - x$ , $y = x^{3}$ , $y = x^{2} - 2 x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$2 - x = x^{3}$

Étape 1.2

Résolvez $2 - x = x^{3}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 - x - x^{3} = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 - x - x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Déplacez $2$ .

$- x - x^{3} + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- x^{3}$ .

$- x^{3} - x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- x^{3} - x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) - x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- (x^{3}) - (x) + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.1.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{3}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (x)$ .

$- (x^{3} + x) - 1 \cdot - 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{3} + x - 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- (x^{3} + x - 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{3} + x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 1 - 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 1 - 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.5

Divisez $x^{3} + x - 2$ par $x - 1$ .

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Étape 1.2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Étape 1.2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Étape 1.2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 1.2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Étape 1.2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 1.2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 1.2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 1.2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 1.2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Étape 1.2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x + 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x^{2} + x + 2 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.1.6

Écrivez $x^{3} + x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = 1 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} + x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} + x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 2 = 0 + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} + x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2} + y = x^{3}$

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = {(1)}^{3} y = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = {(1)}^{3}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{3}$

Étape 1.3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1$

Étape 1.4

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Simplifiez ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = 1 - 2$

Étape 1.4.3.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y = - 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{3} y = {(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.5.2

Simplifiez ${(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{3}$ .

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Étape 1.5.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{3} {(\frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{3}$

Étape 1.5.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{3} \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 1.5.2.2

Évaluez les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 1.5.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.3

Utilisez le théorème du binôme.

$y = - \frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = - \frac{1 + 3 (- i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{1 - 3 (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 {(- i \sqrt{7})}^{2} + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.5.2.4.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.8

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.10

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 1.5.2.4.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.4.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{1}) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7) + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.11

Multipliez $3 (- 1 \cdot 7)$ .

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Étape 1.5.2.4.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} + 3 \cdot - 7 + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.11.2

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + {(- i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.5.2.4.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + {(- i)}^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - i^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.14

Factorisez $i^{2}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.16

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 - - i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + 1 i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.18

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.19

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{3}$ comme $\sqrt{7^{3}}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{7^{3}}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.20

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{343}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.21

Réécrivez $343$ comme $7^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.5.2.4.1.21.1

Factorisez $49$ à partir de $343$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{49 (7)}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.21.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.22

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + i (7 \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.5.2.4.1.23

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7} - 21 + 7 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.5.2.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.2.4.2.1

Soustrayez $21$ de $1$ .

$y = - \frac{- 3 i \sqrt{7} - 20 + 7 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.5.2.4.2.2

Additionnez $- 3 i \sqrt{7}$ et $7 i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{4 i \sqrt{7} - 20}{8}$

Étape 1.5.2.4.2.3

Remettez dans l’ordre $4 i \sqrt{7}$ et $- 20$ .

$y = - \frac{- 20 + 4 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.5.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $- 20 + 4 i \sqrt{7}$ et $8$ .

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Étape 1.5.2.4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$y = - \frac{4 \cdot - 5 + 4 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.5.2.4.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4 i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{4 \cdot - 5 + 4 (i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.5.2.4.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot - 5 + 4 (i \sqrt{7})$ .

$y = - \frac{4 \cdot (- 5 + i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.5.2.4.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.4.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = - \frac{4 \cdot (- 5 + i \sqrt{7})}{4 (2)}$

Étape 1.5.2.4.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{4 \cdot (- 5 + i \sqrt{7})}{4 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.4.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{- 5 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.5.2.4.2.5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$y = - \frac{- 1 (5) + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.5.2.4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{- 1 (5) - (- i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.5.2.4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- i \sqrt{7})$ .

$y = - \frac{- 1 (5 - i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.5.2.4.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.2.4.2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.5.2.4.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.5.2.4.2.8.3

Multipliez $\frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.6

Simplifiez ${(- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.6.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $\frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{{(1 - i \sqrt{7})}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez ${(1 - i \sqrt{7})}^{2}$ comme $(1 - i \sqrt{7}) (1 - i \sqrt{7})$ .

$y = \frac{(1 - i \sqrt{7}) (1 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.6

Développez $(1 - i \sqrt{7}) (1 - i \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 (1 - i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} (1 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} (1 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} \cdot 1 - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1 + 1 (- i \sqrt{7}) - i \sqrt{7} \cdot 1 - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.2

Multipliez $- i \sqrt{7}$ par $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} \cdot 1 - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4

Multipliez $- i \sqrt{7} (- i \sqrt{7})$ .

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Étape 1.6.1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 1 i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.2

Multipliez $\sqrt{7}$ par $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + \sqrt{7} i (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.4

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} i i}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} (i^{1} i)}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.8

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} (i^{1} i^{1})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} i^{1 + 1}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 1.6.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7^{1} i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7 i^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} + 7 \cdot - 1}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.1.7

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{7} - i \sqrt{7} - 7}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$y = \frac{- i \sqrt{7} - i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.7.3

Soustrayez $i \sqrt{7}$ de $- i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{- 2 i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.8

Remettez dans l’ordre $- 2 i \sqrt{7}$ et $- 6$ .

$y = \frac{- 6 - 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.9

Annulez le facteur commun à $- 6 - 2 i \sqrt{7}$ et $4$ .

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Étape 1.6.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{2 (- 3) - 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{2 (- 3) + 2 (- i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3) + 2 (- i \sqrt{7})$ .

$y = \frac{2 (- 3 - i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 (- 3 - i \sqrt{7})}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 3 - i \sqrt{7})}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} - 2 (- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.6.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} - 2 \frac{- (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.6.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 2 (- 1) \frac{- (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.6.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.6.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} - 1 (- (1 - i \sqrt{7}))$

Étape 1.6.1.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 1 (1 - i \sqrt{7})$

Étape 1.6.1.12

Multipliez $1 - i \sqrt{7}$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + 1 - i \sqrt{7}$

Étape 1.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{2} + \frac{2}{2} - i \sqrt{7}$

Étape 1.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} - i \sqrt{7}$

Étape 1.6.3

Pour écrire $- i \sqrt{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} - i \sqrt{7} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.6.4

Associez $- i \sqrt{7}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2} + \frac{- i \sqrt{7} \cdot 2}{2}$

Étape 1.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.6.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.7

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{3} y = {(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.7.2

Simplifiez ${(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{3}$ .

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Étape 1.7.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{3} {(\frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{3}$

Étape 1.7.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{3} \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 1.7.2.2

Évaluez les exposants.

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Étape 1.7.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 1.7.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.3

Utilisez le théorème du binôme.

$y = - \frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1^{2} (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1 + 3 \cdot 1 (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = - \frac{1 + 3 (i \sqrt{7}) + 3 \cdot 1 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 {(i \sqrt{7})}^{2} + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.5

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (i^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 1.7.2.4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.2.4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7^{1}) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 (- 1 \cdot 7) + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.8

Multipliez $3 (- 1 \cdot 7)$ .

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Étape 1.7.2.4.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} + 3 \cdot - 7 + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.8.2

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 + {(i \sqrt{7})}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.9

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 + i^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.10

Factorisez $i^{2}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 + i^{2} \cdot i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - 1 \cdot i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i {\sqrt{7}}^{3}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.13

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{3}$ comme $\sqrt{7^{3}}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{7^{3}}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.14

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{343}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.15

Réécrivez $343$ comme $7^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.7.2.4.1.15.1

Factorisez $49$ à partir de $343$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{49 (7)}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.15.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - i (7 \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.7.2.4.1.17

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7} - 21 - 7 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.7.2.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.2.4.2.1

Soustrayez $21$ de $1$ .

$y = - \frac{3 i \sqrt{7} - 20 - 7 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.7.2.4.2.2

Soustrayez $7 i \sqrt{7}$ de $3 i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{- 4 i \sqrt{7} - 20}{8}$

Étape 1.7.2.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 4 i \sqrt{7}$ et $- 20$ .

$y = - \frac{- 20 - 4 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.7.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $- 20 - 4 i \sqrt{7}$ et $8$ .

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Étape 1.7.2.4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$y = - \frac{4 (- 5) - 4 i \sqrt{7}}{8}$

Étape 1.7.2.4.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{4 (- 5) + 4 (- i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.7.2.4.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 5) + 4 (- i \sqrt{7})$ .

$y = - \frac{4 (- 5 - i \sqrt{7})}{8}$

Étape 1.7.2.4.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.4.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = - \frac{4 (- 5 - i \sqrt{7})}{4 \cdot 2}$

Étape 1.7.2.4.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{4 (- 5 - i \sqrt{7})}{4 \cdot 2}$

Étape 1.7.2.4.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{- 5 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.7.2.4.2.5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$y = - \frac{- 1 (5) - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.7.2.4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{7}$ .

$y = - \frac{- 1 (5) - (i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.7.2.4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (i \sqrt{7})$ .

$y = - \frac{- 1 (5 + i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.7.2.4.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.2.4.2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.7.2.4.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.7.2.4.2.8.3

Multipliez $\frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.8

Simplifiez ${(- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.8.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + i \sqrt{7}}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $\frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{{(1 + i \sqrt{7})}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.5

Réécrivez ${(1 + i \sqrt{7})}^{2}$ comme $(1 + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{7})$ .

$y = \frac{(1 + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.6

Développez $(1 + i \sqrt{7}) (1 + i \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.8.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 (1 + i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (1 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (1 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1 + 1 (i \sqrt{7}) + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.2

Multipliez $i \sqrt{7}$ par $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} \cdot 1 + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4

Multipliez $i \sqrt{7} (i \sqrt{7})$ .

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Étape 1.8.1.7.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{1} i \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{1} i^{1} \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} \sqrt{7} \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.5

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.6

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} + i^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 {\sqrt{7}}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 1.8.1.7.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.7.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7^{1}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 1 \cdot 7}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.1.7

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 7}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$y = \frac{i \sqrt{7} + i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.7.3

Additionnez $i \sqrt{7}$ et $i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{2 i \sqrt{7} - 6}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.8

Remettez dans l’ordre $2 i \sqrt{7}$ et $- 6$ .

$y = \frac{- 6 + 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.9

Annulez le facteur commun à $- 6 + 2 i \sqrt{7}$ et $4$ .

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Étape 1.8.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{2 \cdot - 3 + 2 i \sqrt{7}}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{2 \cdot - 3 + 2 (i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3 + 2 (i \sqrt{7})$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + i \sqrt{7})}{4} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + i \sqrt{7})}{2 (2)} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + i \sqrt{7})}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} - 2 (- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2})$

Étape 1.8.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} - 2 \frac{- (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.8.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 2 (- 1) \frac{- (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.8.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.8.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} - 1 (- (1 + i \sqrt{7}))$

Étape 1.8.1.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 1 (1 + i \sqrt{7})$

Étape 1.8.1.12

Multipliez $1 + i \sqrt{7}$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + 1 + i \sqrt{7}$

Étape 1.8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{2} + \frac{2}{2} + i \sqrt{7}$

Étape 1.8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + i \sqrt{7}$

Étape 1.8.3

Pour écrire $i \sqrt{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + i \sqrt{7} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.8.4

Associez $i \sqrt{7}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} + \frac{i \sqrt{7} \cdot 2}{2}$

Étape 1.8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.8.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{7}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.8.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 1.8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.9

Indiquez toutes les solutions.

$y = 1, y = - 1, x = 1$

$y = \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

$y = 1, y = - 1, x = 1$

$y = \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, y = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3