Calcul infinitésimal Exemples

$y = 16 x^{2}$ , $y = \sqrt{4 x}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$16 x^{2} = \sqrt{4 x}$

Étape 1.2

Résolvez $16 x^{2} = \sqrt{4 x}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{4 x} = 16 x^{2}$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 x}}^{2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x}$ comme ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x)}^{1} = {(16 x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Simplifiez

$4 x = {(16 x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Simplifiez ${(16 x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $16 x^{2}$ .

$4 x = 16^{2} {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$4 x = 256 {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 256 x^{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x = 256 x^{4}$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Soustrayez $256 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 256 x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x - 256 x^{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x$ .

$4 x (1) - 256 x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 256 x^{4}$ .

$4 x (1) + 4 x (- 64 x^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (1) + 4 x (- 64 x^{3})$ .

$4 x (1 - 64 x^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$4 x (1^{3} - 64 x^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Réécrivez $64 x^{3}$ comme ${(4 x)}^{3}$ .

$4 x (1^{3} - {(4 x)}^{3}) = 0$

Étape 1.2.4.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = 4 x$ .

$4 x ((1 - (4 x)) (1^{2} + 1 (4 x) + {(4 x)}^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.5

Factorisez.

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Étape 1.2.4.2.5.1

Simplifiez

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Étape 1.2.4.2.5.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1^{2} + 1 (4 x) + {(4 x)}^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 1 (4 x) + {(4 x)}^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.5.1.3

Multipliez $4 x$ par $1$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 4 x + {(4 x)}^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.5.1.4

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 4 x + 4^{2} x^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.5.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$4 x ((1 - 4 x) (1 + 4 x + 16 x^{2})) = 0$

Étape 1.2.4.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (1 - 4 x) (1 + 4 x + 16 x^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - 4 x = 0$

$1 + 4 x + 16 x^{2} = 0 + y = \sqrt{4 x}$

Étape 1.2.4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $1 - 4 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.5.1

Définissez $1 - 4 x$ égal à $0$ .

$1 - 4 x = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Résolvez $1 - 4 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 1$

Étape 1.2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.2.4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.2.4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.4.6

Définissez $1 + 4 x + 16 x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.6.1

Définissez $1 + 4 x + 16 x^{2}$ égal à $0$ .

$1 + 4 x + 16 x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.6.2

Résolvez $1 + 4 x + 16 x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt{4 x}$

Étape 1.2.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16} + y = \sqrt{4 x}$

Étape 1.2.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 1.2.4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.4.6.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 1.2.4.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.6.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.4.6.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.2.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 1.2.4.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (1 - 4 x) (1 + 4 x + 16 x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = \sqrt{4 (0)}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $\sqrt{4 (0)}$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{4}$ .

$y = \sqrt{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $\sqrt{4 (\frac{1}{4})}$ .

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Étape 1.4.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 1.4.2.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$y = \sqrt{1}$

Étape 1.4.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \sqrt{4 (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8})}$

Étape 1.5.2

Simplifiez $\sqrt{4 (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8})}$ .

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \sqrt{- 4 \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}}$

Étape 1.5.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \sqrt{\frac{- 4 (1 - i \sqrt{3})}{8}}$

Étape 1.5.2.3

Réduisez l’expression $\frac{- 4 (1 - i \sqrt{3})}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 (1 - i \sqrt{3})$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 - i \sqrt{3}))}{8}}$

Étape 1.5.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 - i \sqrt{3}))}{4 (2)}}$

Étape 1.5.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 - i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}}$

Étape 1.5.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{\frac{- (1 - i \sqrt{3})}{2}}$

Étape 1.5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \sqrt{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2.5

Réécrivez $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.5.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = i \sqrt{\frac{1^{2} - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = i \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.5.2.9

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i (\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 1.5.2.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.2.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.5.2.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.5.2.10.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.5.2.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.5.2.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.5.2.10.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.5.2.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.5.2.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.5.2.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.5.2.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.5.2.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.5.2.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = i \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.5.2.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = i \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Étape 1.5.2.12

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{i \sqrt{(1 - i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Étape 1.5.2.13

Déplacez $2$ à gauche de $1 - i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ .

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Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \sqrt{4 (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8})}$

Étape 1.6.2

Simplifiez $\sqrt{4 (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8})}$ .

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Étape 1.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \sqrt{- 4 \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}}$

Étape 1.6.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \sqrt{\frac{- 4 (1 + i \sqrt{3})}{8}}$

Étape 1.6.2.3

Réduisez l’expression $\frac{- 4 (1 + i \sqrt{3})}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 (1 + i \sqrt{3})$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 + i \sqrt{3}))}{8}}$

Étape 1.6.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 + i \sqrt{3}))}{4 (2)}}$

Étape 1.6.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = \sqrt{\frac{4 (- (1 + i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}}$

Étape 1.6.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{\frac{- (1 + i \sqrt{3})}{2}}$

Étape 1.6.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \sqrt{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6.2.5

Réécrivez $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.6.2.5.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6.2.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = i \sqrt{\frac{1^{2} + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = i \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.6.2.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.6.2.9

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i (\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 1.6.2.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.6.2.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.6.2.10.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.6.2.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.6.2.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.6.2.10.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.6.2.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.6.2.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.6.2.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.6.2.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.6.2.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.6.2.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = i \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.6.2.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = i \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Étape 1.6.2.12

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{i \sqrt{(1 + i \sqrt{3}) \cdot 2}}{2}$

Étape 1.6.2.13

Déplacez $2$ à gauche de $1 + i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}$

Étape 1.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = \frac{1}{4}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = \frac{1}{4}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 - i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

$y = \frac{i \sqrt{2 (1 + i \sqrt{3})}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3