Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Multipliez $e^{{(1)}^{2}}$ par $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = e^{1}$

Étape 1.3.2.3.3

Simplifiez

$y = e$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, e)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $e$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Étape 3.4

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.4.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 3.4.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 3.4.1.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 3.4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 3.4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez

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Étape 3.4.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = e^{1}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez

$u_{lower} = e$

Étape 3.4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Étape 3.4.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Étape 3.7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Étape 3.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.8.1

Évaluez $\frac{1}{2} u_{2}$ sur $e^{e^{2}}$ et sur $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Étape 3.8.2

Évaluez $e^{x}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Étape 3.8.3

Simplifiez

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Étape 3.8.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Étape 3.8.3.2

Associez $e$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Étape 3.8.3.3

Simplifiez

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Étape 3.8.3.4

Pour écrire $- (e^{e} - e)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Étape 3.8.3.5

Associez $- (e^{e} - e)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Étape 3.8.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Étape 3.8.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Étape 3.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Étape 3.9.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Étape 3.9.3

Soustrayez $e$ de $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Étape 4