Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x)$ , $y = x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sin (x) = x$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 0$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $\frac{π}{2}$ et $π$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - (\sin (x)) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Étape 3.6

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Étape 3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.7.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Étape 3.7.1.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 3.7.2

Simplifiez

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Étape 3.7.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Étape 3.7.2.2

Additionnez $- \cos (π)$ et $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Étape 3.7.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Étape 3.7.2.4

Multipliez $\cos (π)$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Étape 3.7.3

Simplifiez

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Étape 3.7.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Étape 3.7.3.3.1

Multipliez $\frac{π^{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.4

Pour écrire $\frac{π^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.3.5.1

Multipliez $\frac{π^{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.7

Soustrayez $π^{2}$ de $π^{2} \cdot 4$ .

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Étape 3.7.3.7.1

Remettez dans l’ordre $π^{2}$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.7.3.7.2

Soustrayez $π^{2}$ de $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Étape 3.8.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Étape 3.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Étape 4