Calcul infinitésimal Exemples

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$81 x = x^{5}$

Étape 1.2

Résolvez $81 x = x^{5}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $x^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$81 x - x^{5} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $81 x - x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9$ et $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Étape 1.2.2.5.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Étape 1.2.2.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $9 + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $9 + x^{2}$ égal à $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $9 + x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 1.2.5.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 1.2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 1.2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 1.2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 1.2.6

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.7

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 1.2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = {(0)}^{5}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = {(0)}^{5}$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5}$

Étape 1.3.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 3 i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $3 i$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Étape 1.4.2

Simplifiez ${(3 i)}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Étape 1.4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.4.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 1.4.2.4.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 1.4.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Étape 1.4.2.5

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = 243 i$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - 3 i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- 3 i$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Étape 1.5.2

Simplifiez ${(- 3 i)}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Étape 1.5.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.4.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 1.5.2.4.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 1.5.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Étape 1.5.2.5

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = - 243 i$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Étape 1.6.2

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$y = - 243$

Étape 1.7

Évaluez $y$ quand $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$y = {(3)}^{5}$

Étape 1.7.2

Remplacez $x$ par $3$ dans $y = {(3)}^{5}$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3^{5}$

Étape 1.7.2.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$y = 243$

Étape 1.8

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3