Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $y = {(x - 8)}^{2}$ , $y = 32$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} = {(x - 8)}^{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| x | = | x - 8 | + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$x = x - 8$

$x = - (x - 8)$

$- x = x - 8$

$- x = - (x - 8) + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$x = x - 8$

$x = - (x - 8) + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.3

Résolvez $x = x - 8$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.3.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = - 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.3.1.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = - 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$0 = - 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.3.2

Comme $0 \neq - 8$ , il n’y a aucune solution.

No $s o l u t i o n + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

No $s o l u t i o n + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4

Résolvez $x = - (x - 8)$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Simplifiez $- (x - 8)$ .

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Étape 1.2.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - x + 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$x = - x + 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = - x + 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.4.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + x = 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x = 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$2 x = 8 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 8$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = \frac{8}{2} + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.4.3.3.1

Divisez $8$ par $2$ .

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.2.2.5

Indiquez toutes les solutions.

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

$x = 4 + y = {(x - 8)}^{2}$

$y = 32$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 4$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$y = {((4) - 8)}^{2} y = 32$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans $y = {((4) - 8)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(4 - 8)}^{2}$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {((4) - 8)}^{2}$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez ${((4) - 8)}^{2}$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$y = {(- 4)}^{2}$

Étape 1.3.2.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = 16$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4, 16)$

Étape 2

Simplifiez ${(x - 8)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x - 8)}^{2}$ comme $(x - 8) (x - 8)$ .

$y = (x - 8) (x - 8)$

Étape 2.2

Développez $(x - 8) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$y = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$y = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Étape 2.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$y = x^{2} - 16 x + 64$