Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

Étape 1.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

Étape 1.2.3

Additionnez $3$ et $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 1.2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 1.2.5

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.6

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 3$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$y = 6 (3) - 6$

Étape 1.3.2

Simplifiez $6 (3) - 6$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$y = 18 - 6$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $6$ de $18$ .

$y = 12$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(3, 12)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $2$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

Étape 3.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

Étape 3.3

Additionnez $3$ et $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Étape 3.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Étape 3.9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

Étape 3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.10.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ et $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Étape 3.10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.10.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Étape 3.10.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3

Simplifiez

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Étape 3.10.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.4

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.5

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.2.3.7.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.7.2

Additionnez $8$ et $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.11

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.12

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.13

Associez $- 9$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.2.3.15.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.15.2

Soustrayez $27$ de $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.18

Multipliez $\frac{28}{3}$ par $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.20

Additionnez $62$ et $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.21

Annulez le facteur commun à $90$ et $3$ .

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Étape 3.10.2.3.21.1

Factorisez $3$ à partir de $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.21.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.21.2.4

Divisez $30$ par $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.22

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.23

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.10.2.3.23.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.23.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.24

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Étape 3.10.2.3.25

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 3.10.2.3.26

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 3.10.2.3.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 3.10.2.3.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.2.3.28.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Étape 3.10.2.3.28.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

Étape 3.10.2.3.29

Associez $- 6$ et $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Étape 3.10.2.3.30

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

Étape 3.10.2.3.31

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 3.10.2.3.31.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Étape 3.10.2.3.31.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.31.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Étape 3.10.2.3.31.2.2

Annulez le facteur commun.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Étape 3.10.2.3.31.2.3

Réécrivez l’expression.

$30 + \frac{- 9}{1}$

Étape 3.10.2.3.31.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$30 - 9$

Étape 3.10.2.3.32

Soustrayez $9$ de $30$ .

$21$

Étape 4