Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} + 3$ ; $y = 0$ ; $0 \leq x \leq 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{3} + 3 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x^{3} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 3$

Étape 1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{3}$ comme $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $- \sqrt[3]{3}$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- \sqrt[3]{3}, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $2$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $x^{3} + 3$ .

$\int_{0}^{2} x^{3} + 3 d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} 3 d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} 3 d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + 3 x]_{0}^{2}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ et $3 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 x]_{0}^{2}$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} + 3 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 3 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez

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Étape 3.6.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{16}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 3.6.2.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 + 3 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 + 6 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.5

Additionnez $4$ et $6$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$10 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$10 - (0 + 3 \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.8

Multipliez $3$ par $0$ .

$10 - (0 + 0)$

Étape 3.6.2.2.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$10 - 0$

Étape 3.6.2.2.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$10 + 0$

Étape 3.6.2.2.11

Additionnez $10$ et $0$ .

$10$

Étape 4