Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- x}$ ; $[0, 5]$

Étape 1

Écrivez $y = e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- x}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[0, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

Étape 6

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$u_{upper} = - 5$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 5$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- ((e^{- 5}) - e^{0}))$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Étape 11.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 1$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{e^{5}}$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 1$

Étape 12.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5}$

Étape 13