Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x}$ ; $[0, 5]$

Étape 1

Écrivez $y = e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[0, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} e^{x} d x)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (e^{x}]_{0}^{5})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{x}$ sur $5$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((e^{5}) - e^{0})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (e^{5} - 1 \cdot 1)$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (e^{5} - 1)$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (e^{5} - 1)$

Étape 8.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (e^{5} - 1)$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5}$ .

$A (x) = \frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$A (x) = \frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 10