Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Étape 1

Écrivez $y = 8 x (20 - x)$ comme une fonction.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[0, 20]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Étape 6

Multipliez $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $20$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Étape 7.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Étape 7.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Étape 7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Étape 7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Étape 9

Comme $160$ est constant par rapport à $x$ , placez $160$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Étape 12

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Étape 14.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $20$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Étape 14.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $20$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3

Simplifiez

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Étape 14.2.3.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.2

Annulez le facteur commun à $400$ et $2$ .

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Étape 14.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.2.2.4

Divisez $200$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 14.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.6

Additionnez $200$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.7

Multipliez $160$ par $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.8

Élevez $20$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 14.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 14.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 14.2.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 14.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 14.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 14.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 14.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Étape 14.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Étape 14.2.3.12

Additionnez $\frac{8000}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Étape 14.2.3.13

Associez $- 8$ et $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Étape 14.2.3.14

Multipliez $- 8$ par $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Étape 14.2.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Étape 14.2.3.16

Pour écrire $32000$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Étape 14.2.3.17

Associez $32000$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Étape 14.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Étape 14.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.3.19.1

Multipliez $32000$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Étape 14.2.3.19.2

Soustrayez $64000$ de $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Étape 15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Étape 15.2

Additionnez $20$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 16.1

Factorisez $20$ à partir de $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Étape 17