Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[- 1, 1]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x^{2} + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

Étape 8

Évaluez $\arctan (x)$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

Étape 9.1.2

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Étape 9.1.3

Multipliez $- - \frac{π}{4}$ .

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Étape 9.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

Étape 9.1.3.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

Étape 9.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

Étape 9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Étape 9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Étape 9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

Étape 9.5

Associez $5$ et $\frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5 π}{2}$ .

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

Étape 12